Неопределённости для волновой функции с конечным носителем

Рассмотрите полностью разобранный пример четвёртой лекции: волновую функцию на всей прямой

$$\psi(x)=\begin{cases}N(x^2-l^2)^2,& |x|\le l,\\0,&|x|>l,\end{cases}\qquad l>0.$$

Найдите нормировочный множитель $N$ с точностью до общей фазы. Найдите $\langle x\rangle$, $\langle x^2\rangle$ и неопределённость координаты. Затем для того же состояния найдите $\langle p\rangle$, $\langle p^2\rangle$, неопределённость импульса и проверьте соотношение неопределённостей.

Неопределённость — среднеквадратичное отклонение:

$$\Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2},\qquad\Delta p=\sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2}.$$

Используйте $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ и $\langle A\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\hat A\psi\,dx$. Проверяемое неравенство — $\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$.

Редакторская отметка: форма функции оставлена как в источнике, без неявной замены $x$ на $x/l$. В напечатанной нормировке пропущена размерная степень $l^4$; исправление выведено в разборе. Авторский график этой функции помещён в разбор.