Состояние после точного измерения координаты или импульса

Связный пример из пятой лекции об измерении квантовой наблюдаемой.

Пусть при измерении частица обнаружена в положении $x_0$. Какова её волновая функция непосредственно после измерения? Она должна быть собственной функцией оператора координаты $\hat x\phi(x)=x\phi(x)$ и обращаться в нуль при $x\ne x_0$.

Теперь исходное состояние задано волновой функцией $\psi(x)$. Сравните два альтернативных идеальных измерения: координаты с результатом $x_0$ и импульса с результатом $p_0$. Как меняется состояние в каждом случае? Используйте $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ и $p=\hbar k$.

Для известного исходного состояния плотность вероятности результата координаты равна $\rho_x(x_0)=|\psi(x_0)|^2$. Как это обобщается на произвольную наблюдаемую $A$? Сохраните различие дискретной вероятности и плотности непрерывной величины. Примените ответ к координате, импульсу и дискретным уровням энергии.

Контекст автора: собственные функции удовлетворяют $\hat A\phi_a=a\phi_a$. Состояние можно разложить по полному ортонормированному собственному набору: $\psi=\sum_a c_a\phi_a$ для дискретного спектра или $\psi=\int c(a)\phi_a\,da$ для непрерывного. Коэффициенты находятся скалярным произведением $c_a=\langle\phi_a|\psi\rangle$ либо $c(a)=\langle\phi_a|\psi\rangle$. Для импульса удобно использовать

$$\widetilde\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)e^{-ikx}\,dx.$$

При непрерывном спектре ортонормированность понимается как дельта-нормировка. Автор отдельно предупреждает, что точные собственные состояния положения и импульса на всей прямой не нормируются на единицу и служат обобщёнными состояниями для построения обычных волновых пакетов. Объясните ответ с этой оговоркой: не следует выдавать дельта-функцию или плоскую волну за нормированную физическую функцию из $L^2(\mathbb R)$ — пространства функций с конечным интегралом квадрата модуля. Для вырожденного результата отдельно учитывается всё соответствующее собственное подпространство.