Движение и фокусировка свободного гауссова пакета

Два связанных задания из лекции 12. В лекции свободный гауссов пакет, сначала центрированный в нуле и имеющий вещественный профиль, расширяется при движении как вперёд, так и назад во времени; его ширина минимальна при $t=0$.

Первый вопрос: почему минимум приходится именно на нулевой момент? Как, используя этот результат, построить волновую функцию, ширина которой минимальна в другой заданный момент $t_0$?

Второй вопрос: исходный пакет покоится. Как заставить его двигаться? Постройте хорошо локализованный пакет с заданным средним импульсом, затем повторите весь расчёт эволюции и проверьте, как меняется плотность вероятности. В частности, проверьте одновременно расширение пакета и движение его центра в направлении начального импульса с соответствующей скоростью. Должен ли средний импульс свободной частицы меняться со временем?

Самостоятельный контекст: частица массы $m$ движется на всей прямой с $H=\hat p^2/(2m)$, $\hat p=-i\hbar\partial_x$. Можно исходить из нормированного гауссова профиля минимальной ширины

$$g_\sigma(x)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/(4\sigma^2)},\qquad\sigma>0.$$

Здесь $\sigma$ — среднеквадратичная ширина координатной плотности. Обозначение введено явно, чтобы не зависеть от неоднозначно проговорённых множителей 2втранскрипте. Средний начальный импульс обозначьте $P_0$, начальный центр можно обозначить $q_0$. В подсказке автор отсылает к заданию про линейную фазу: множитель $e^{iP_0x/\hbar}$ сдвигает средний импульс на $P_0$, не меняя мгновенную координатную плотность. Отсылка заменена этим фактом; требуется также вся последующая свободная эволюция, а не только начальный сдвиг.