Шесть свойств водородоподобного основного состояния

Нормированная волновая функция основного состояния водородоподобного атома (водорода, $\mathrm{He}^+$, $\mathrm{Li}^{++}$ и т. д.) с зарядом ядра $Ze$ имеет вид
$$\psi=Ae^{-\beta r},$$
где $r$ — расстояние от ядра до электрона. Как в разделе источника об атоме водорода, разницей между массой электрона $m_e$ и приведённой массой пренебрегают; общую фазу выбирают так, что $A>0$. Покажите, что:

1. $A^2=\beta^3/\pi$.
2. $\beta=Z/a_0$, где
$$a_0=\frac{\hbar^2}{m_e}\frac{4\pi\epsilon_0}{e^2}.$$
3. Энергия $E=-Z^2E_0$, где
$$E_0=\frac{m_e}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2.$$
4. Средние потенциальная и кинетическая энергии равны $2E$ и $-E$ соответственно.
5. Среднее расстояние $\langle r\rangle=3a_0/(2Z)$.
6. Наиболее вероятное расстояние равно $a_0/Z$.