Ортогональность водородных радиальных функций

Пусть
$$R_{nl}(r)=\frac{v_{nl}(r/a_0)}{r/a_0},$$
где $R_{nl}$ — правильно нормированная радиальная функция атома водорода, $n$ и $l$ — главное и орбитальное квантовые числа, а $a_0$ — боровский радиус. Радиальные функции регулярны при $r=0$ и затухают на бесконечности. Положите $y=r/a_0$.

1. Докажите уравнение
$$\frac{d^2v_{nl}}{dy^2}=\left[\frac{l(l+1)}{y^2}-\frac2y+\frac1{n^2}\right]v_{nl}.$$
2. Покажите, что $v_{nl}\sim y^{l+1}$ при $y\to0$.
3. Докажите, что
$$\begin{gathered} \left(\frac1{n^2}-\frac1{m^2}\right)\\ \times\int_0^\infty v_{nl}(y)v_{ml}(y)\,dy=0. \end{gathered}$$
Здесь $m$ — другое главное квантовое число, а не магнитное число.
4. Выведите отсюда для $n\ne m$
$$\int_0^\infty r^2R_{nl}(r)R_{ml}(r)\,dr=0.$$

Используйте кулоновский потенциал $-e^2/(4\pi\epsilon_0r)$,
$$a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_ee^2},\qquad E_n=-\frac{\hbar^2}{2m_ea_0^2n^2}.$$