Основания в квантовом поиске периода по модулю15

Исходная квантовая схема ищет период r функции $a^x\bmod15$ при a=7. Она использует 8 счётных кубитов,4 кубита рабочего регистра в состоянии 1, управляемые степени умножения по модулю 15 и обратное преобразование Фурье. Измерение даёт фазу s/r, где s случаен; дробь сокращается, поэтому её знаменатель может быть делителем настоящего периода.

В приведённой схеме нахождения порядка по модулю N=15 замените исходное a=7 на a=2,8,11,13. Какие результаты получаете и почему?

Полные исходные функции, схема, симуляция и обработка фаз сохранены. Изменяется a, а N=15 и число счётных кубитов остаются прежними.

Original complete baseline:

# pylint: disable=invalid-name
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit, Aer, transpile
from qiskit.visualization import plot_histogram
from math import gcd
from numpy.random import randint
import pandas as pd
from fractions import Fraction
print("Imports Successful")

def c_amod15(a, power):
    """Controlled multiplication by a mod 15"""
    if a not in [2,4,7,8,11,13]:
        raise ValueError("'a' must be 2,4,7,8,11 or 13")
    U = QuantumCircuit(4)
    for _iteration in range(power):
        if a in [2,13]:
            U.swap(2,3)
            U.swap(1,2)
            U.swap(0,1)
        if a in [7,8]:
            U.swap(0,1)
            U.swap(1,2)
            U.swap(2,3)
        if a in [4, 11]:
            U.swap(1,3)
            U.swap(0,2)
        if a in [7,11,13]:
            for q in range(4):
                U.x(q)
    U = U.to_gate()
    U.name = f"{a}^{power} mod 15"
    c_U = U.control()
    return c_U

# Specify variables
N_COUNT = 8  # number of counting qubits
a = 7

def qft_dagger(n):
    """n-qubit QFTdagger the first n qubits in circ"""
    qc = QuantumCircuit(n)
    # Don't forget the Swaps!
    for qubit in range(n//2):
        qc.swap(qubit, n-qubit-1)
    for j in range(n):
        for m in range(j):
            qc.cp(-np.pi/float(2**(j-m)), m, j)
        qc.h(j)
    qc.name = "QFT†"
    return qc

# Create QuantumCircuit with N_COUNT counting qubits
# plus 4 qubits for U to act on
qc = QuantumCircuit(N_COUNT + 4, N_COUNT)

# Initialize counting qubits
# in state |+>
for q in range(N_COUNT):
    qc.h(q)

# And auxiliary register in state |1>
qc.x(N_COUNT)

# Do controlled-U operations
for q in range(N_COUNT):
    qc.append(c_amod15(a, 2**q),
             [q] + [i+N_COUNT for i in range(4)])

# Do inverse-QFT
qc.append(qft_dagger(N_COUNT), range(N_COUNT))

# Measure circuit
qc.measure(range(N_COUNT), range(N_COUNT))
qc.draw(fold=-1)  # -1 means 'do not fold'

aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
t_qc = transpile(qc, aer_sim)
counts = aer_sim.run(t_qc).result().get_counts()
plot_histogram(counts)

rows, measured_phases = [], []
for output in counts:
    decimal = int(output, 2)  # Convert (base 2) string to decimal
    phase = decimal/(2**N_COUNT)  # Find corresponding eigenvalue
    measured_phases.append(phase)
    # Add these values to the rows in our table:
    rows.append([f"{output}(bin) = {decimal:>3}(dec)",
                 f"{decimal}/{2**N_COUNT} = {phase:.2f}"])
# Print the rows in a table
headers=["Register Output", "Phase"]
df = pd.DataFrame(rows, columns=headers)
print(df)

rows = []
for phase in measured_phases:
    frac = Fraction(phase).limit_denominator(15)
    rows.append([phase,
                 f"{frac.numerator}/{frac.denominator}",
                 frac.denominator])
# Print as a table
headers=["Phase", "Fraction", "Guess for r"]
df = pd.DataFrame(rows, columns=headers)
print(df)