Точное снятие двухкратного вырождения

Рассмотрите двухуровневую систему: $\psi_1,\psi_2$ образуют ортонормированный базис, $H_0\psi_i=E_i\psi_i$, полный гамильтониан $H=H_0+H_1$, а эрмитово возмущение имеет элементы $e_{ij}=\langle\psi_i|H_1|\psi_j\rangle$, так что $e_{21}=e_{12}^*$ и $e_{11},e_{22}$ вещественны.

Пусть невозмущённые энергии вырождены: $E_1=E_2=E_{12}$. Покажите, что полные энергии и собственные состояния задаются выражениями
$$E^\pm=E_{12}+e^\pm,$$
$$\psi^\pm=\langle1|\psi^\pm\rangle\psi_1+\langle2|\psi^\pm\rangle\psi_2,$$
где
$$\begin{aligned} e^\pm={}&\frac{e_{11}+e_{22}}2\\ &\pm\frac12\sqrt{(e_{11}-e_{22})^2+4|e_{12}|^2}, \end{aligned}$$
а при ненулевых знаменателях
$$\begin{aligned} \frac{\langle1|\psi^\pm\rangle}{\langle2|\psi^\pm\rangle}&=-\frac{e_{12}}{e_{11}-e^\pm}\\ &=-\frac{e_{22}-e^\pm}{e_{12}^*}. \end{aligned}$$
Докажите, что $\psi^\pm$ — одновременные собственные состояния $H_0$ и возмущения $H_1$, а $e^\pm$ — соответствующие собственные значения $H_1$.