Осцилляции Раби с диагональными сдвигами уровней

Рассмотрите двухуровневую систему с ортонормированными состояниями $H_0\psi_j=E_j\psi_j$ и гамильтонианом $H=H_0+H_1(t)$. Пусть
$$\begin{aligned} \langle1|H_1|1\rangle&=e_{11},\\ \langle2|H_1|2\rangle&=e_{22},\\ \langle1|H_1|2\rangle&=\langle2|H_1|1\rangle^*\\ &=\tfrac12\gamma\hbar e^{i\omega t}, \end{aligned}$$
где $e_{11},e_{22},\gamma,\omega$ вещественны. Амплитуды $c_j(t)$ определены записью
$$\psi(t)=\sum_{j=1}^2c_j(t)e^{-iE_jt/\hbar}\psi_j.$$
Докажите, что для
$$\hat c_j=c_je^{ie_{jj}t/\hbar},\qquad j=1,2,$$
$$\hat\omega_{21}=\frac{E_2+e_{22}-E_1-e_{11}}\hbar$$
выполняются уравнения
$$\begin{aligned} i\dot{\hat c}_1&=\frac\gamma2e^{i(\omega-\hat\omega_{21})t}\hat c_2,\\ i\dot{\hat c}_2&=\frac\gamma2e^{-i(\omega-\hat\omega_{21})t}\hat c_1. \end{aligned}$$
Выведите отсюда: если при $t=0$ система определённо находилась в состоянии 1, то
$$\begin{gathered} P_2(t)=\frac{\gamma^2}{\gamma^2+(\omega-\hat\omega_{21})^2}\\ \times\sin^2\left[\sqrt{\gamma^2+(\omega-\hat\omega_{21})^2}\,\frac t2\right]. \end{gathered}$$