Резонанс произвольного ядерного спина

Ядро со спином $s$ и безразмерным магнитным множителем $g$ находится в поле
$$\begin{aligned} \mathbf B={}&B_0\mathbf e_z\\ &+B_1[\cos(\omega t)\mathbf e_x-\sin(\omega t)\mathbf e_y], \end{aligned}$$
где $B_1\ll B_0$. Магнитный момент $\boldsymbol\mu=g\mu_N\mathbf S/\hbar$, $\mu_N=e\hbar/(2m_p)$. Нормированные состояния $\chi_{s,m}$ удовлетворяют
$$S^2\chi_{s,m}=s(s+1)\hbar^2\chi_{s,m},$$
$$S_z\chi_{s,m}=m\hbar\chi_{s,m},\qquad m=-s,-s+1,\ldots,s.$$
Обозначьте
$$\omega_0=\frac{g\mu_NB_0}\hbar,\qquad\gamma=\frac{g\mu_NB_1}\hbar.$$
Определите амплитуды во взаимодействующем представлении:
$$\chi(t)=\sum_{m=-s}^sc_m(t)e^{im\omega_0t}\chi_{s,m},\qquad\sum_m|c_m|^2=1.$$

1. Покажите, что при $\delta=\omega-\omega_0$
$$\begin{aligned} \dot c_m=\frac{i\gamma}2\big[&\sqrt{s(s+1)-m(m-1)}\\ &\times e^{i\delta t}c_{m-1}\\ &+\sqrt{s(s+1)-m(m+1)}\\ &\times e^{-i\delta t}c_{m+1}\big]. \end{aligned}$$
Амплитуды с индексами вне $[-s,s]$ равны нулю.
2. Для $s=1/2$, $\omega=\omega_0$, $c_{1/2}(0)=1$ докажите:
$$c_{1/2}=\cos(\gamma t/2),\quad c_{-1/2}=i\sin(\gamma t/2).$$
3. Для $s=1$, $\omega=\omega_0$, $c_1(0)=1$ докажите:
$$\begin{aligned} c_1&=\cos^2(\gamma t/2),\\ c_0&=i\sqrt2\cos(\gamma t/2)\sin(\gamma t/2),\\ c_{-1}&=-\sin^2(\gamma t/2). \end{aligned}$$
4. Для $s=3/2$, $\omega=\omega_0$, $c_{3/2}(0)=1$ докажите:
$$\begin{aligned} c_{3/2}&=\cos^3(\gamma t/2),\\ c_{1/2}&=i\sqrt3\cos^2(\gamma t/2)\sin(\gamma t/2),\\ c_{-1/2}&=-\sqrt3\cos(\gamma t/2)\sin^2(\gamma t/2),\\ c_{-3/2}&=-i\sin^3(\gamma t/2). \end{aligned}$$
В записи состояния восстановлены фазы взаимодействующего представления; в двух средних компонентах последнего пункта исправлены переставленные в источнике степени синуса и косинуса.