Лестничные операторы при неравных промежутках энергии

Цельный вопрос и пример из обсуждения лестничных операторов.

Пусть одномерная система имеет упорядоченные невырожденные связанные состояния $\phi_n$ с энергиями $E_n$. Можно формально определить оператор $A^\dagger\phi_n=\phi_{n+1}$ и продолжить его на суперпозиции линейно. Означает ли это, что для любого потенциала получится свойство осциллятора $[\hat H,A^\dagger]=cA^\dagger$ с одной и той же постоянной $c$? Что потребовалось бы от промежутков между энергиями?

Рассмотрите данный автором пример. Для обычных осцилляторных операторов

$$N=a^\dagger a,\qquad [N,a^\dagger]=a^\dagger,\qquad [N,a]=-a.$$

Вместо обычной энергии осциллятора берётся оператор, записанный на доске:

$$\hat H=\hbar\omega(N+N^3),\qquad \omega>0.$$

Остаётся ли $[\hat H,a^\dagger]$ постоянной, умноженной на $a^\dagger$? Как действуют $N$ и $\hat H$ на состояния числа $N\phi_n=n\phi_n$? Остаются ли эти состояния собственными состояниями энергии и равномерно ли расположены их энергии?

Связанный заключительный вопрос автора: можно ли любой потенциал представить через этот оператор $N$? Различайте заранее фиксированный оператор числа обычного осциллятора и формальное присвоение номеров собственным состояниям другого гамильтониана. Эта разница нужна, чтобы вопрос имел определённый смысл.