Почему понижение энергии осциллятора обрывается

В обсуждении квантового гармонического осциллятора возник вопрос: почему основное состояние должно удовлетворять $a\phi_0=0$? Это произвольное дополнительное требование или следствие физики и операторной алгебры?

Рассматривается частица массы $m$ на всей вещественной прямой с

$$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2},\qquad \omega>0.$$

Для нормированного состояния $\psi$ автор предлагает самостоятельно вывести выражение средней энергии:

$$\langle H\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p^2}{2m}|\widetilde\psi(p)|^2\,dp+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{m\omega^2x^2}{2}|\psi(x)|^2\,dx.$$

Здесь $\widetilde\psi$ — нормированная волновая функция в представлении импульса. Используйте положительность этих слагаемых и соотношение $[\hat H,a]=-\hbar\omega a$: если $\phi_E$ — собственное состояние энергии, то ненулевой $a\phi_E$ имеет энергию $E-\hbar\omega$. Объясните, почему последовательное понижение не может бесконечно порождать физические состояния и почему внизу получается нулевой вектор. Отличайте нулевой вектор от нормированного состояния с нулевой энергией.