Что фаза прохождения делает с волновым пакетом

Полный разобранный пример о физическом смысле фазы рассеяния из лекции 14.

Частица массы $m$ падает слева на яму $V=-V_0$ при $0<x<L$ и $V=0$ снаружи, $V_0,L>0$. Далеко слева первоначально приготовлен гауссов пакет

$$\psi(x,0)=N\exp\!\left[-\frac{(x-x_0)^2}{2a^2}\right]e^{ik_0x},$$

где $a>0$, $x_0<0$, $k_0>0$. Пакет хорошо локализован относительно расстояния до ямы и узок по волновому числу около $k_0$. Это асимптотическое приближение падающего пакета: хвосты по другую сторону ямы и при отрицательных $k$ пренебрежимо малы. Снаружи $E=\hbar^2k^2/(2m)$ и $\omega=E/\hbar$.

Проследите весь ход автора. Запишите коэффициенты разложения начального пакета по плоским волнам и свободную эволюцию. Затем замените свободные состояния состояниями рассеяния и выделите падающий, отражённый и прошедший пакеты далеко от ямы. Не используйте внешнюю форму состояний как формулу внутри ямы.

Для прошедшей волны запишите $t(k)=\sqrt{T(k)}e^{-i\phi(k)}$. Используя стационарную фазу около $k_0$, найдите движение её центра и объясните, какую физическую информацию содержит производная фазы по энергии. Сравните с движением свободного пакета.

Наконец, исследуйте результат около резонанса $qL=n\pi$, где $q=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar$. Сравните с классической частицей, которая в яме движется быстрее, особенно в пределе $V_0\gg E$. Почему квантовый результат отличается и как это связано с многократными внутренними отражениями? Различайте выигрыш во времени относительно свободного движения и время пересечения ямы.

Исходный пример использует узкий пакет; формула для движения центра применима, когда амплитуда прохождения и её фаза достаточно гладкие на ширине пакета. Для самостоятельного расчёта можно вывести $t$ сопряжением волновой функции и производной на 0и $L$; точная формула проверяется в разборе.