Свободная частица в трёх измерениях

Первый цельный пример перехода к трём измерениям в лекции 15.

Положение частицы массы $m$ задаётся вектором $\mathbf r=(x,y,z)$, импульс — оператором $\mathbf p=-i\hbar\nabla$. Координаты друг с другом коммутируют, компоненты импульса друг с другом также коммутируют; $[x_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}$.

Какова размерность трёхмерной волновой функции $\psi(\mathbf r)$, если $|\psi|^2\,d^3r$ задаёт вероятность? Затем решите разобранную автором задачу свободной частицы на всём пространстве:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi_E=E\phi_E.$$

Примените разделение переменных $\phi_E=\phi_x(x)\phi_y(y)\phi_z(z)$. Объясните, почему каждое отношение второй производной к соответствующей функции должно быть постоянным, и найдите разделённые состояния и их энергии. Можно ли брать отрицательные константы разделения, если другие положительны? Что происходит с растущими экспонентами на всей прямой?

В лекции сначала выбраны только экспоненты с одним знаком в каждом направлении. Где находятся решения с противоположными знаками? Все ли состояния имеют вид одного произведения? Объясните роль суперпозиций.

Если два вектора $\mathbf k_1,\mathbf k_2$ имеют одинаковую длину, но разные направления, дают ли соответствующие плоские волны одну энергию? Остаётся ли их суперпозиция собственным состоянием энергии? Чем объясняется большое вырождение свободной частицы в трёх измерениях по сравнению с двумя направлениями в одном измерении?

Уточнение источника: плоские волны на всём пространстве — обобщённые, а не нормированные на единицу состояния. Нормируемые состояния строятся из них в виде пакетов; не следует объявлять отдельную плоскую волну элементом пространства квадратично интегрируемых функций.