Вырождение трёхмерного осциллятора

Второй цельный трёхмерный пример из лекции 15.

Частица массы $m$ находится в изотропном гармоническом потенциале

$$V(x,y,z)=\frac{m\omega_0^2}{2}(x^2+y^2+z^2).$$

В одном измерении нормированные функции $\phi_n$ имеют энергии $\hbar\omega_0(n+1/2)$, $n=0,1,2,\ldots$. Используя разделение переменных, постройте базис состояний трёхмерного осциллятора и найдите его энергии.

Есть ли вырождение у связанных состояний в трёх измерениях? Перечислите состояния первых трёх энергетических уровней по трём однокоординатным номерам, найдите их вырождения и продолжите счёт. Выведите общую формулу числа состояний на уровне с суммарным числом возбуждений $N$.

Затем измените только частоту по $z$ на $\widetilde\omega\ne\omega_0$, оставив две другие равными $\omega_0$. Найдите новые энергии и объясните, какие вырождения снимаются. Может ли вырождение всё же сохраняться или возникнуть при специальном отношении частот?

Автор обсуждает связь вырождения с вращательной симметрией и спрашивает, почему число состояний растёт быстрее простого подсчёта трёх осей. Различайте подсчёт состояний и утверждение о том, какие именно состояния связаны обычным вращением. Само существование симметрии не означает, что любой уровень обязан быть вырожденным.