Глубокая конечная яма и бесконечная яма

В лекции предложено проверить, что низкие уровни очень глубокой конечной ямы воспроизводят уровни бесконечной ямы, если измерять энергию от дна.

Частица массы $m$ движется на всей прямой в потенциале

$$V(x)=\begin{cases}-V_0,&|x|<L,\\0,&|x|>L,\end{cases}\qquad V_0>0,\quad L>0.$$

Для чётных связанных состояний $-V_0<E<0$ в лекции получены

$$z\tan z=y,\qquad z^2+y^2=r_0^2,$$

$$z=kL,\quad y=\alpha L,\quad k^2=\frac{2m(V_0+E)}{\hbar^2},\quad\alpha^2=\frac{-2mE}{\hbar^2},\quad r_0^2=\frac{2mV_0L^2}{\hbar^2}.$$

При $V_0\to\infty$ и фиксированных $L$ и номере низкого чётного уровня $j=0,1,\ldots$ пересечение приближается к $z_j=(2j+1)\pi/2$. Автор предлагает учесть первую поправку к горизонтальному приближению большой окружности $y=\sqrt{r_0^2-z^2}$. Покажите, что энергия над дном $E+V_0$ стремится к энергии соответствующего чётного состояния бесконечной ямы ширины $2L$.

На рисунке — исходное обозначение потенциала из лекции.