Что сохраняется при удвоении ширины ямы

Частица массы $m$ находится в конечной прямоугольной яме

$$V(x)=\begin{cases}-V_0,&|x|<L,\\0,&|x|>L,\end{cases}\qquad V_0>0,\quad L>0.$$

В лекции чётные связанные состояния описаны пересечениями

$$z\tan z=y,\qquad z^2+y^2=r_0^2,$$

$$z=kL,\quad y=\alpha L,\quad r_0^2=\frac{2mV_0L^2}{\hbar^2},\quad E=-\frac{\hbar^2\alpha^2}{2m}.$$

Автор задаёт вопрос: если сделать яму вдвое шире, что нужно изменить, чтобы получить «те же состояния с теми же энергиями»? В обсуждении предлагается уменьшить глубину в четыре раза, после чего автор уточняет: $y$ останется прежним, но $\alpha$ изменится из-за изменения $L$.

Разберите этот цельный вопрос с его уточнением: какое изменение глубины сохраняет графические решения и число связанных состояний при $L\mapsto2L$? Сохранятся ли при этом сами энергии?

Редакторское уточнение: буквальная фраза «с теми же энергиями» не принимается как данное — её нужно проверить. Рассматривается та же частица, с тем же нулём потенциала снаружи.