Построение и форма сферических гармоник

Цельный пример построения первых сферических гармоник из лекции 16. Сферическая гармоника $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ — угловая часть волновой функции с определёнными $L^2$ и $L_z$:

$$L^2Y_{lm}=\hbar^2l(l+1)Y_{lm},\qquad L_zY_{lm}=\hbar mY_{lm},\qquad L_z=-i\hbar\partial_\varphi.$$

Для орбитального момента $l=0,1,2,\ldots$, $m=-l,-l+1,\ldots,l$. Автор предлагает вместо решения уравнения второго порядка воспользоваться условием для верхнего состояния лестницы:

$$L_+Y_{ll}=0,\qquad L_+=\hbar e^{i\varphi}(\partial_\theta+i\cot\theta\,\partial_\varphi),$$

а остальные состояния получать понижением:

$$L_-=\hbar e^{-i\varphi}(-\partial_\theta+i\cot\theta\,\partial_\varphi).$$

Найдите зависимость $Y_{ll}$ от обоих углов. Как получить $Y_{l,l-1}$ и следующие состояния, не решая заново дифференциальное уравнение? Почему при $m=0$ нет зависимости от $\varphi$ и почему у противоположных $m$ одинаковая зависимость модуля от $\theta$?

Постройте все конкретно разобранные автором функции: $Y_{00}$, $Y_{11}$, $Y_{10}$, $Y_{1,-1}$, $Y_{22}$, $Y_{20}$, $Y_{2,-2}$. Нормируемы ли они? Нормируйте на единицу, интегрируя по сфере, а не по всему объёму:

$$\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi\!d\theta\,\sin\theta\,|Y_{lm}|^2=1.$$

Продолжите авторский графический разбор. Поверхность задаётся расстоянием $|Y_{lm}(\theta,\varphi)|$ от начала координат в направлении $(\theta,\varphi)$. Объясните сферу для $Y_{00}$, два полюсных лепестка и узловую экваториальную плоскость для $Y_{10}$, форму $Y_{20}$ и кольцо для $Y_{22}$. Почему для $m=l$ угловое распределение при росте $l$ всё теснее сосредоточено у экватора? Почему при переходе от модуля $Y_{22}$ к его вещественной и мнимой частям появляются лепестки, хотя модуль не зависит от азимута? Что происходит с мнимой частью $Y_{20}$?

Уточнение источника: опубликованный авторский код графика использует именно $|Y|$. В устном объяснении эта величина местами названа квадратом модуля. Вероятность на единицу телесного угла задаётся $|Y|^2$; рисунок модуля и рисунок плотности — разные поверхности. Скачанный код прочитан как текст и не исполнялся.