Проверка сохранения вектора Рунге–Ленца

Автор предлагает проверить дополнительную сохраняющуюся величину кулоновской задачи, отдельно предупреждая о порядке некоммутирующих операторов. Для частицы массы $m$ в потенциале $V=-g/r$, $g>0$, рассмотрите классические величины

$$H_C=\frac{\mathbf p^2}{2m}-\frac gr,$$

$$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p,$$

$$\mathbf A=\mathbf p\times\mathbf L-mg\,\widehat{\mathbf r},$$

$$\widehat{\mathbf r}=\frac{\mathbf r}{r}.$$

Проверьте по уравнениям Ньютона, что $d\mathbf A/dt=0$. Затем выполните явно предложенную автором квантовую проверку: при $\mathbf p=-i\hbar\nabla$ постройте эрмитово упорядочение этой величины и проверьте $[H_C,A_i]=0$. Почему нельзя просто считать все множители коммутирующими? Как дополнительная сохраняющаяся величина связана с тем, что энергия кулоновской модели не зависит от $l$, а не только от магнитного номера?

В дальнейшем автор предлагает ещё одну проверку. Добавьте ведущую релятивистскую поправку только к кинетической энергии:

$$\delta H=-\frac{(\mathbf p^2)^2}{8m^3c^2}.$$

Сохраняется ли найденный $\mathbf A$ для $H_C+\delta H$? При этом сохраняется ли обычный момент $\mathbf L$ и его $2l+1$-кратное вырождение по магнитному номеру?

Уточнение записи источника: в транскрипте последний множитель назван «r vector». В определении сохраняющегося вектора нужен единичный радиальный вектор $\mathbf r/r$; это следует и из размерности, и из проверки производной. Нечёткий знак на доске сохранён отдельным оригинальным кадром. Полный вывод спектра из четырёхмерной группы вращений здесь не требуется: автор лишь описывает эту связь после предложенной проверки.