Ток в стационарном кулоновском состоянии

Цельный пример из лекции 19: как у стационарного состояния атома может быть магнитный момент, если плотность вероятности не меняется во времени?

Для электрона массы $M$ и заряда $-e$ в кулоновском потенциале выберите нормированное состояние с определёнными $n,l,m_l$:

$$\psi(\mathbf r,t)=F_{nl}(r)P_{lm_l}(\theta)e^{im_l\varphi}e^{-iE_nt/\hbar},$$

где радиальный и полярный множители можно выбрать вещественными. Автор даёт плотность тока вероятности

$$\mathbf J=\frac{\hbar}{M}\operatorname{Im}(\psi^*\nabla\psi).$$

В сферических координатах

$$\begin{aligned}\nabla={}&\widehat{\mathbf r}\partial_r\\&+\widehat{\boldsymbol\theta}\frac1r\partial_\theta\\&+\widehat{\boldsymbol\varphi}\frac1{r\sin\theta}\partial_\varphi.\end{aligned}$$

Вычислите все три компоненты тока. Следует ли из $\partial_t|\psi|^2=0$ и уравнения непрерывности, что сам ток равен нулю? Чем электрический ток отличается от тока вероятности? Объясните его связь с орбитальным магнитным моментом $\boldsymbol\mu=-e\langle\mathbf L\rangle/(2Mc)$ в гауссовых единицах.

Затем разберите весь связанный авторский вопрос о вещественном базисе. Ранее было установлено, что вещественный гамильтониан позволяет выбрать вещественные собственные функции энергии. Как совместить это с ненулевым током и комплексным множителем $e^{im_l\varphi}$? Для $m_l\ne0$ постройте вещественные синусную и косинусную комбинации двух вырожденных состояний с противоположными $m_l$. Каковы их ток и средний $L_z$? Изменится ли физический ток исходного комплексного состояния, если лишь переписать **то же состояние** в новом вещественном базисе?

«Ничего не движется» в исходном обсуждении относится к стационарной плотности и постоянным средним положения. Эта фраза не означает отсутствия квантового тока и не задаёт классическую траекторию электрона.