Две частицы и конечная масса протона

Два связанных авторских примера из лекции 19: сначала две свободные частицы, затем электрон и протон конечной массы. Координаты частиц обозначим $\mathbf a,\mathbf b$, массы — $m_a,m_b$; индексы частиц не являются координатами.

Состояние задаётся функцией $\psi(\mathbf a,\mathbf b)$. Каков смысл её квадрата модуля? Чему равны коммутаторы координат разных частиц, координаты и собственного импульса, координаты и импульса другой частицы? Меняются ли эти операторные соотношения из-за взаимодействия или корреляций состояния?

Сначала положите взаимодействие равным нулю:

$$H=\frac{\mathbf p_a^2}{2m_a}+\frac{\mathbf p_b^2}{2m_b}.$$

Используя разделение переменных, найдите плосковолновые состояния и их энергии. Всякая ли функция двух невзаимодействующих частиц обязана быть одним произведением? Какие суперпозиции разделённых функций остаются собственными функциями одной полной энергии?

Затем пусть

$$H=\frac{\mathbf p_a^2}{2m_a}+\frac{\mathbf p_b^2}{2m_b}+V(\mathbf a-\mathbf b).$$

Выполните предложенный автором переход к центру масс и относительной координате:

$$\mathbf R=\frac{m_a\mathbf a+m_b\mathbf b}{m_a+m_b},$$

$$\mathbf r=\mathbf a-\mathbf b.$$

Найдите оператор энергии в этих переменных и определите полную и приведённую массы. Какая степень свободы свободна, а какая испытывает потенциал? Примените вывод к электрону и протону с кулоновским притяжением. Какая масса должна входить в известные кулоновские энергии и длины? Почему приближение бесконечно тяжёлого протона хорошо при $m_p\approx2000m_e$, как оценивает автор? Верно ли, что в точной двухчастичной модели каждый из них по отдельности находится в неподвижном внешнем кулоновском поле?

Обменная симметрия тождественных частиц — следующий блок лекции; здесь пример свободных частиц строит базис без её наложения, а электрон и протон различимы.