Эрмитовы матрицы размера 2 × 2

(a) Вычислите $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$, используя формулу $\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+\sum_{k=1}^3 i\epsilon_{ijk}\sigma_k$, и выпишите его собственные значения. Учитывая также $\operatorname{tr}\vec a\cdot\vec\sigma=0$, что можно заключить о собственных значениях $\vec a\cdot\vec\sigma$? А о собственных значениях $a_0I+\vec a\cdot\vec\sigma$?

(b) Пусть $\vec a=(\alpha,0,\beta)$. Выпишите точные собственные значения $\vec a\cdot\vec\sigma$. Выпишите главные члены и первые два поправочных члена при $|\alpha|\ll|\beta|$ и при $|\alpha|\gg|\beta|$. Сравните с результатами теории возмущений второго порядка.

(c) Определим скалярное произведение $\langle A,B\rangle\equiv\operatorname{tr}[A^\dagger B]$. Пусть $A=(a_0I+\vec a\cdot\vec\sigma)/2$. Найдите эрмитовы матрицы $Q_0,Q_1,Q_2,Q_3$, для которых $a_i=\langle A,Q_i\rangle$.