Осциллятор с кубическим возмущением

Рассмотрите ангармонический осциллятор с гамильтонианом

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}+\lambda x^3,$$

считая $\lambda x^3$ возмущением. [Указание: при решении не должны потребоваться интегралы; работайте с операторами рождения и уничтожения гармонического осциллятора и его собственными состояниями энергии.]

(a) Покажите, что поправка первого порядка к энергии основного состояния равна нулю. Вычислите сдвиг до порядка $\lambda^2$.

(b) Вычислите волновую функцию основного состояния до порядка $\lambda$. Можно записать ответ как сумму состояний гармонического осциллятора.

(c) Изобразите потенциал $V(x)$ как функцию $x$ при малом $\lambda$. Похоже ли найденное в (b) состояние на истинное основное состояние? Какой эффект теория возмущений не обнаружила?