Возмущение трёхмерного гармонического осциллятора

Спектр трёхмерного гармонического осциллятора сильно вырожден. В этой задаче мы увидим, как добавление возмущения к гамильтониану уменьшает вырождение. Задача составлена так, чтобы её можно было решить ещё до обсуждения теории возмущений для вырожденных уровней на лекции.

Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом

$$H=H_0+\delta H,\tag{1}$$

где

$$H_0=\frac{\vec p^{\,2}}{2m}+\frac12m\omega^2\vec x^{\,2},\tag{2}$$

$\vec x=(x_1,x_2,x_3)$, $\vec p=(p_1,p_2,p_3)$. Возмущающий гамильтониан равен

$$\delta H=\kappa L_2,\tag{3}$$

где $\kappa$ — постоянная и $L_2=x_3p_1-x_1p_3$.

В пунктах (a)-(e) изучается действие возмущения внутри вырожденного подпространства состояний с энергией $E=(5/2)\hbar\omega$ при $\kappa=0$.

(a) Положите $\kappa=0$, так что в этом пункте $H=H_0$. Определите операторы рождения и уничтожения «квантов осциллятора» по направлениям 1, 2 и 3. Определите операторы числа квантов $N_1,N_2,N_3$. Обозначьте их собственные состояния через собственные значения: $|n_1,n_2,n_3\rangle$. Какова энергия такого состояния? Сколько линейно независимых состояний имеют энергию $E=(5/2)\hbar\omega$? Иными словами, какова кратность вырождения изучаемого подпространства?

(b) Выразите $\delta H$ через операторы рождения и уничтожения.

(c) Какова матрица $\delta H$ в подпространстве из пункта (a)?

(d) Каковы собственные значения и собственные состояния $\delta H$ в этом подпространстве? Каковы собственные значения и собственные состояния $H=H_0+\delta H$ в нём?

(e) Какова матрица $H_0+\delta H$ в этом подпространстве, если новым базисом выбрать собственные векторы $\delta H$ вместо исходного базиса $|n_1,n_2,n_3\rangle$?

[Замечание: как станет видно в (f), эта задача в существенном отношении «слишком проста». При более общих возмущениях сохранится следующее свойство: если возмущение снимает вырождение, то даже сколь угодно малое ненулевое возмущение приводит к качественным изменениям — выделяет определённый выбор собственных векторов энергии в прежде вырожденном подпространстве. Здесь это можно описать так: если сначала $\kappa=0$ и базисом собственных состояний энергии служат $|n_1,n_2,n_3\rangle$, а затем кто-то «включает» очень малое ненулевое $\kappa$, базисные состояния приходится качественно изменить. «Поворот» от прежних собственных состояний энергии к новым, которые теперь являются единственным возможным выбором, не мал, хотя $\kappa$ сколь угодно мало.]

(f) Пусть $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$ — собственные состояния $H_0$ с разными энергиями, то есть принадлежат разным вырожденным подпространствам. Покажите, что $\langle\phi|\delta H|\psi\rangle=0$ для любых двух таких состояний. Свяжите это с утверждением об операторах $H_0$ и $\delta H$, не ссылающимся на состояния.

[Равенство $\langle\phi|\delta H|\psi\rangle=0$ для состояний из разных вырожденных подпространств означает, что $\delta H$ — «нетипичное» возмущение $H_0$: у более общего возмущения такого свойства нет. Только при этом свойстве проведённый выше анализ, в котором каждое вырожденное подпространство рассматривается отдельно, полон. Заметьте также, что для анализа $H=H_0+\delta H$ не понадобилось считать $\kappa$ малым. При более общем $\delta H$ для продвижения пришлось бы предположить малость $\kappa$.]