Поляризуемость частицы на кольце и молекула этана

Частица массы $m$ может двигаться в плоскости $xy$ по круговому кольцу радиуса $a$. Единственная переменная системы — азимутальный угол $\phi$. Состояние описывается периодической волновой функцией $\psi(\phi)$:

$$\psi(\phi+2\pi)=\psi(\phi),$$

нормированной условием

$$\int_0^{2\pi}|\psi(\phi)|^2\,d\phi=1.$$

(a) Кинетическую энергию частицы можно записать как

$$H_0=\frac{L_z^2}{2ma^2},\tag{4}$$

где $L_z=-i\hbar\,d/d\phi$. Найдите собственные значения и собственные функции $H_0$. Какие уровни энергии вырождены?

(b) Теперь пусть частица имеет заряд $q$ и помещена в однородное электрическое поле $\varepsilon$, направленное вдоль оси $x$. Тогда к гамильтониану добавляется возмущение

$$\delta H=-q\varepsilon a\cos\phi.$$

Вычислите новую волновую функцию основного состояния в первом порядке по $\varepsilon$. По ней найдите наведённый электрический дипольный момент вдоль оси $x$: $\langle\psi|qx|\psi\rangle$. Найдите коэффициент пропорциональности между дипольным моментом и приложенным полем $\varepsilon$; он называется поляризуемостью системы.

Рисунок 1: схематичный вид молекулы этана с торца в наиболее выгодной ориентации.

(c) Выключим поле из (b) и рассмотрим молекулу этана $\mathrm{CH}_3$—$\mathrm{CH}_3$. Одна группа $\mathrm{CH}_3$ вращается относительно другой вокруг прямой, соединяющей атомы углерода, как показано на рисунке 1. Закрашенные кружки — атомы H одной группы $\mathrm{CH}_3$; они вращаются относительно незакрашенных кружков, изображающих атомы H другой группы.

В нулевом приближении вращение свободно, и гамильтониан $H_0$ из (4) описывает вращательную кинетическую энергию. Постоянную $2ma^2$ следовало бы заменить некоторой новой постоянной, умноженной на момент инерции группы $\mathrm{CH}_3$ относительно оси вращения; для простоты продолжим обозначать её $2ma^2$.

Учтём энергию электростатического взаимодействия двух групп $\mathrm{CH}_3$ как возмущение. Для учёта трёхкратной симметрии добавим к $H_0$ член

$$\delta H=b\cos3\phi,$$

где $b$ — вещественная постоянная. Вычислите энергию и волновую функцию нового основного состояния: функцию в первом порядке по $b$, энергию — во втором. Дайте физическое истолкование результата.