Эффект Штарка для уровней водорода

В однородном внешнем электрическом поле $\vec E_{\mathrm{ext}}$ уровни энергии атома сдвигаются. Это явление называется эффектом Штарка и является электрическим аналогом магнитного эффекта Зеемана. Изучим его для состояний водорода с $n=1$ и $n=2$. Пусть поле направлено вдоль $\hat z$, тогда потенциальная энергия электрона в поле равна

$$\delta H_{\mathrm{Stark}}=eE_{\mathrm{ext}}z.\tag{1}$$

Рассматривайте её как возмущение боровского гамильтониана

$$H_0=\frac{\vec p^{\,2}}{2m}-\frac{e^2}{r},\tag{2}$$

пока пренебрегая спином и тонкой структурой.

(a) [Этот чисто математический пункт упростит дальнейшие расчёты.] Пусть $a,b,c$ — неотрицательные целые числа, $f(r)$ — функция. Докажите, что

$$\int dx\,dy\,dz\,x^a y^b z^c f(r)=0,\tag{3}$$

если не все $a,b,c$ чётны. Здесь $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$; можно считать, что интеграл (3) существует.

(b) Покажите, что возмущение (1) не сдвигает энергию основного состояния $E_{1,0,0}$ в первом порядке теории возмущений.

(c) Сдвиг второго порядка ненулевой, и точно вычислить его непросто. Найдите оценку этого сдвига.

i. Вычислите $\sum_\alpha|\langle\alpha|z|1,0,0\rangle|^2$, где $\alpha$ пробегает все состояния атома водорода: связанные и несвязанные. [Указание: размерность ответа позволяет проверить его правдоподобие.]

ii. Выражение

$$\frac1{E^0_{1,0,0}-E^0_\alpha}\tag{4}$$

отрицательно при всех $\alpha\ne(1,0,0)$. Каково его наименьшее, то есть ближайшее к $-\infty$, возможное значение?

iii. Докажите, что сдвиг второго порядка удовлетворяет

$$E^2_{1,0,0}\ge-Ca_0^3E_{\mathrm{ext}}^2\tag{5}$$

при некотором $C$. Найдите $C$.

Обсуждение. Почему полученное неравенство даёт верхнюю границу поляризуемости основного состояния водорода? Система имеет поляризуемость $\alpha$, если поле $\vec E$ наводит дипольный момент $\vec p=\alpha\vec E$. Для постоянного диполя энергия во внешнем поле равна $-\vec p\cdot\vec E$, однако для наведённого диполя сдвиг энергии системы равен $-\alpha E^2/2$, где $E=|\vec E|$: это учитывает создание диполя. Обратно, сдвиг $-KE^2$ соответствует поляризуемости $2K$. Здесь исправлен пропущенный автором множитель $1/2$; оригинал сохранён отдельно.

В исходнике предлагается точно вычислить $E^2_{1,0,0}$ суммированием по состояниям, включая интегрирование по несвязанным состояниям; это доступно методами курса 8.06, но трудоёмко. Получается $C_{\mathrm{exact}}=9/4$. Ваша граница должна быть совместима с этим значением. Вычисление поляризуемости — шаг к вычислению силы Ван-дер-Ваальса.

(d) Первый возбуждённый уровень $H_0$ четырёхкратно вырожден: состояния $|n,\ell,m\rangle$ равны $|2,0,0\rangle$, $|2,1,1\rangle$, $|2,1,0\rangle$, $|2,1,-1\rangle$. В вырожденной теории возмущений найдите поправки первого порядка. На сколько уровней расщепляются состояния с $n=2$? Спин не учитывайте.

(e) Каковы подходящие невозмущённые волновые функции для пункта (d)? Найдите в каждом таком состоянии среднее электрического дипольного момента $\vec p_e=-e\vec r$.

(f) Теперь учтите спин электрона и тонкую структуру уровней $2S$ и $2P$. Найдите напряжённость электрического поля в вольтах на сантиметр, при которой найденный выше штарковский сдвиг по величине сравняется с расщеплением тонкой структуры уровней $2S$ и $2P$.

Обычное бытовое электрическое поле имеет порядок $100\,\text{В}/\text{см}$. Например, между фазным и нейтральным проводами розетки напряжение $110\,\text{В}$; при расстоянии $1.1\,\text{см}$ поле составит $100\,\text{В}/\text{см}$. Атом водорода между проводами испытывал бы поле такой напряжённости. Поляризуется ли он согласно результату (d), или будет преобладать расщепление тонкой структуры? [Независимо от ответа не пытайтесь воспроизвести это дома.]

Редакторское уточнение к (f): обозначение $2P$ в исходнике не различает $2P_{1/2}$ и $2P_{3/2}$. Для них ответы различны; единого ненулевого порога между $2S$ и всеми $2P$ нет. В разборе приведены обе ветви при принятой в курсе полной тонкой структуре.