Свойства волновой функции

Частица массы $m$ в одномерном потенциале $V(x)$ имеет волновую функцию

$$\psi(x)=Nx\exp\left(-\frac12\alpha x^2\right),\qquad\alpha>0.$$

(a) Нормируйте $\psi(x)$, чтобы определить $N$. Чему равно $\langle\hat{x}\rangle$? Чему равно $\langle\hat{x}^2\rangle$?

(b) Чему равно $\langle\hat{p}\rangle$? Чему равно $\langle\hat{p}^2\rangle$?

(c) Является ли $\psi(x)$ собственным состоянием координаты? Является ли $\psi(x)$ собственным состоянием импульса? Объясните.

(d) Предположим, что $V(x)=0$. Чему равно $\langle\hat{H}\rangle$?

(e) Предположим, что о $V(x)$ ничего не известно, но $\psi(x)$ является собственным состоянием энергии. Найдите потенциал $V(x)$ и собственное значение энергии $E$, считая $V(0)=0$. Может ли $\psi(x)$ быть волновой функцией основного состояния частицы?