Квантовый мяч над отражающей поверхностью

Квазиклассическое приближение позволяет оценивать собственные значения энергии и собственные состояния для потенциалов, которые трудно решить точно. Эта задача в общих чертах основана на задаче 8.6 Гриффитса. В задаче 8.5 Гриффитса можно узнать, как решить эту квантовую задачу точно с помощью функций Эйри.

Рассмотрите квантовый аналог классической задачи о мяче массы $m$, упруго отскакивающем от пола в гравитационном потенциале, который сообщает ему постоянное ускорение $g$.

(a) Найдите квазиклассическое приближение для разрешённых энергий $E_n$ через $m$, $g$ и $\hbar$.

(b) Оцените энергию нулевых колебаний нейтрона, «покоящегося» на горизонтальной поверхности в гравитационном поле Земли, то есть находящегося в квантовом основном состоянии. Выразите ответ в электронвольтах. [Хотя постановка может показаться искусственной, такой эксперимент выполнен. Измерение энергии квантового основного состояния нейтронов над горизонтальной поверхностью описано в V. V. Nesvizhevsky et al., Nature 415, 297 (2002), и arXiv:hep-ph/0306198. Эксперимент привлёк внимание прессы сочетанием гравитации и квантовой механики, удобным для яркого пресс-релиза. Он, конечно, не связан с квантовой гравитацией.]

(c) Теперь представьте, что мяч массы 1 грамм отпускают без начальной скорости с высоты 1 метр и он отскакивает от пола. Вычислите его классическую энергию, как в курсе механики 8.01. Квантовое состояние мяча, следующего такой классической траектории, должно быть когерентной суперпозицией собственных состояний энергии, средняя энергия которой равна классической. Насколько велико среднее значение квантового числа $n$ в этом состоянии?