Наблюдаемые водорода и сильнополевой эффект Зеемана

Обозначим массу электрона через $m_e$, его заряд — через $e$. Гамильтониан водорода, использованный в курсе 8.04, имеет вид

$$H_0=\frac{p^2}{2m_e}-\frac{e^2}{r}.$$

В этой задаче учитывается спин электрона с оператором $\vec S$, но спином протона пренебрегают. Полный момент равен $\vec J=\vec L+\vec S$.

(a) Полные наборы совместимых наблюдаемых. Полный набор совместимых наблюдаемых — это набор коммутирующих операторов, каждое совместное собственное подпространство которых одномерно. Иными словами, задание всех собственных значений всех операторов набора однозначно определяет состояние с точностью до скалярного множителя. Можно без доказательства использовать, что $H_0,\vec L^{\,2},L_z,S_z$ образуют такой набор с собственным базисом $\{|n,l,m_l,m_s\rangle\}$. Для каждого из следующих наборов либо объясните, почему он полон, выразив его собственные состояния через $\{|n,l,m_l,m_s\rangle\}$, либо объясните, почему он не является полным набором совместимых наблюдаемых. Для простоты рассматривайте только связанные состояния.

i. $H_0,\vec L^{\,2},\vec L\cdot\vec S,J_z$.

ii. $H_0,\vec L^{\,2},L_z,S_x$.

iii. $H_0,\vec L^{\,2},J_z,S_z$.

iv. $H_0,\vec J^{\,2},J_z,S_z$.

v. $H_0,\vec J^{\,2},\vec L\cdot\vec S,J_z$.

(b) Сильнополевой эффект Зеемана. Невозмущённые собственные состояния — $|n,l,m_l,m_s\rangle$. Тонкую структуру можно учесть слагаемым

$$H_{\mathrm{fs}}=-\frac{m_ec^2\alpha^4}{2n^3}\left(\frac1{\hat j+1/2}-\frac3{4n}\right),$$

где $\hat j$ удовлетворяет $\vec J^{\,2}=\hbar^2\hat j(\hat j+1)$. Для вычисления энергетических сдвигов первого порядка нужно найти

$$\left\langle n,l,m_l,m_s\left|\frac1{\hat j+1/2}\right|n,l,m_l,m_s\right\rangle.\tag{7}$$

i. Сначала вычислите среднее значение $\vec J^{\,2}$ в состоянии $|n,l,m_l,m_s\rangle$. Затем представьте измерение $\hat j$ и найдите вероятности результатов $j=l+1/2$ и $j=l-1/2$. Наконец, используя равенство (7) выражению

$$\frac{\Pr[j=l+1/2]}{l+1}+\frac{\Pr[j=l-1/2]}{l},\tag{8}$$

воспроизведите известный результат для сильнополевого эффекта Зеемана из лекций или учебника Гриффитса. При $l=0$ существует только $j=1/2$; выражение (7) вычисляется напрямую без второго слагаемого (8).

ii. В (7) использована теория возмущений для невырожденного уровня, но невозмущённые энергии зависят от $m_l+2m_s$, поэтому вырождение существует. Объясните, почему несмотря на это рассуждение остаётся верным.