Борновское рассеяние на потенциалах Юкавы и Кулона

При решении можно обратиться к примерам 11.5 и 11.6 Гриффитса на странице 415: часть работы там уже выполнена.

Рассмотрите потенциал Юкавы

$$V(r)=\beta\frac{e^{-\mu r}}r,$$

где $\beta,\mu$ — постоянные.

(a) В первом борновском приближении найдите амплитуду рассеяния, дифференциальное сечение $d\sigma/d\Omega$ и полное сечение. Полное сечение выразите через энергию $E$.

(b) Положите $\beta=Q_1Q_2$, $\mu=0$ и покажите, что дифференциальное сечение рассеяния на кулоновском потенциале совпадает с классическим результатом Резерфорда. Используйте его в (d).

(c) Дифференциальные сечения позволяют вычислять число рассеянных частиц, попадающих в детектор. Один рассеивающий центр направляет в телесный угол $d\Omega$ за секунду число частиц, определяемое формулой

$$\frac{d^2N}{dt\,d\Omega}=\frac{d\sigma}{d\Omega}\times\frac{d^2N}{dt\,dA},$$

где $d^2N/(dt\,dA)$ — падающий поток, то есть число частиц в секунду на единицу площади поперечного сечения пучка. Однородный пучок из $dN/dt$ частиц в секунду с поперечным сечением $A$ падает на мишень с плотностью $n$ рассеивающих центров на единицу объёма и толщиной $t$.

Запишите число частиц, попадающих в детектор с телесным углом $d\Omega$ за единицу времени. Покажите, что ответ не зависит от площади пучка, даже если поток по ней неоднороден. [Это существенно: экспериментатору обычно легко измерить $dN/dt$, но трудно измерить $A$ и однородность потока по сечению.]

(d) Пучок альфа-частиц с зарядом $Q_1=2e$ и кинетической энергией $8\,\text{МэВ}$ рассеивается на золотой фольге. Ток пучка равен $1\,\text{нА}$. [Для тока принято использовать систему единиц метр–килограмм–секунда: $1\,\text{нА}=10^{-9}\,\text{А}$, то есть $10^{-9}$ кулонов заряда в секунду. Заряд каждой альфа-частицы равен $2e$, где $e=1.6\times10^{-19}\,\text{Кл}$.] Толщина фольги — $1$ микрометр. Считайте, что альфа-частицы рассеиваются только на ядрах, а не на электронах, причём каждая рассеивается лишь один раз. Найдите в справочнике плотность золота и заряд его ядра $Q_2$. Сколько альфа-частиц в секунду попадёт в детектор, занимающий угловой конус $d\theta=10^{-2}\,\text{рад}$, $d\phi=10^{-2}\,\text{рад}$ с центром при $\theta=\pi/2$?