Парциальные волны и оптическая теорема

Амплитуда рассеяния некоторой реакции равна

$$\begin{gathered}f(\theta)=\frac1k\biggl[\frac{\Gamma k}{k_0-k-ik\Gamma}\\ {}+3e^{2i\beta k^3}\sin(2\beta k^3)\cos\theta\biggr].\end{gathered}\tag{2}$$

где $\Gamma,k_0,\beta$ — постоянные, характеризующие рассеивающий потенциал. Волновое число де Бройля равно $k=\sqrt{2mE/\hbar^2}$.

(a) Какие парциальные волны участвуют в рассеянии, то есть каковы их $\ell$?

(b) Найдите фазовые сдвиги участвующих волн. Правильно ли они ведут себя при $k\to0$?

(c) Найдите дифференциальное сечение $d\sigma/d\Omega$ для произвольных $k$.

(d) Найдите парциальные сечения $\sigma_\ell$.

(e) При $\beta k_0^3\ll1$ получите приближение для полного сечения $\sigma(k)$ при $k\approx k_0$.

(f) Найдите полное сечение при произвольном $k$ и мнимую часть амплитуды рассеяния вперёд. Удовлетворяют ли они оптической теореме?