Энергия выше минимума потенциала

Рассмотрите стационарное уравнение Шрёдингера для частицы с энергией $E$ в потенциале $V(x)$, где $x\in(-\infty,\infty)$:

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]\psi(x).\tag{1}$$

Без ограничения общности можно считать $\psi(x)$ вещественной. Предположим, что потенциал ограничен снизу:

$$V(x)\geq V_{\min}\quad\text{для всех }x,$$

где $V_{\min}$ — минимальное значение потенциала.

Докажите, что для существования нормируемых решений необходимо $E>V_{\min}$. Для этого предположите, что $E\leq V_{\min}$, и попробуйте с помощью уравнения (1) и интегрирования получить явное противоречие.

Примечание источника: вариант задачи 2.2 из Гриффитса.