Статистика фотонов лазера и лампы накаливания

(a) Состояние лазера часто описывают когерентным состоянием

$$|\alpha\rangle=e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle,$$

где $|n\rangle$ — состояние с определённым числом фотонов $n$. На практике модуль $|\alpha|$ может быть известен, а фаза $\alpha$ обычно неизвестна. Представим $\alpha$ случайной величиной $re^{i\phi}$, где $r\ge0$ задано, а $\phi$ равномерно распределена на $[0,2\pi]$. В действительности и $r$ может быть известно не полностью, но здесь считайте его известным точно. Найдите получающийся оператор плотности $\rho_{\mathrm{laser}}$ в базисе числа фотонов. Как зависит $\langle\hat n\rangle_{\mathrm{laser}}$ от $r$?

(b) Лампа накаливания, напротив, даёт свет в тепловом состоянии. Рассматривайте только свет фиксированной угловой частоты $\omega$, то есть частоты $\nu=\omega/(2\pi)$. Запишите оператор плотности теплового состояния $\rho_{\mathrm{thermal}}$ при температуре $T$ в базисе числа фотонов. Выразите его через безразмерную величину $\gamma=\hbar\omega/(k_BT)$. Чему равно $\langle\hat n\rangle_{\mathrm{thermal}}$? Под тепловым состоянием понимается матрица плотности канонического распределения: состояние $x$ с энергией $E(x)$ имеет вероятность $e^{-\beta E(x)}/Z$, где $\beta=1/(k_BT)$ и $Z=\sum_{x'}e^{-\beta E(x')}$.

(c) Одного среднего числа фотонов $\langle\hat n\rangle$ недостаточно, чтобы отличить состояние лазера от теплового. Пусть вместо этого измеряются флуктуации числа фотонов $\Delta\hat n^2=(\hat n-\langle\hat n\rangle)^2$. Найдите $\langle\Delta\hat n^2\rangle_{\mathrm{laser}}$ и $\langle\Delta\hat n^2\rangle_{\mathrm{thermal}}$. Используя (a), (b), выразите ответы через $\langle\hat n\rangle$. Объясните, как по ним различить источники света. [Указание: используйте $\langle\Delta\hat n^2\rangle=\langle\hat n^2\rangle-\langle\hat n\rangle^2$.]