Квазиклассические уровни потенциала четвёртой степени

Рассмотрите уравнение Шрёдингера

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\alpha x^4\psi=E\psi.$$

Пусть $E_0<E_1<\ldots$, а безразмерные энергии $e_n=E_n/\gamma$, где

$$\gamma=\left(\frac{\hbar^4\alpha}{m^2}\right)^{1/3}.$$

В одном из листков курса 8.05 численно были найдены первые уровни:

$$e_0=0.667986,\quad e_1=2.39364,\quad e_2=4.69680,\quad e_3=7.33573,\quad e_4=10.2443,\quad e_5=13.3793.$$

Теперь оценим их квазиклассически.

(a) Пусть точки поворота равны $-x_0,x_0$, где $x_0>0$. Выразите $E$ через $\alpha,x_0$.

(b) По формулам сшивки, считая квазиклассическое приближение применимым, докажите

$$\frac1\hbar\int_{-x_0}^{x_0}\sqrt{2m[E_n-V(x)]}\,dx=(n+\tfrac12)\pi,\qquad n=0,1,2,\ldots.\tag{1}$$

(c) Обозначим оценку из (1) через $\widetilde E_n$, а точную энергию — через $E_n$. Вычислите интеграл и найдите $\widetilde e_n=\widetilde E_n/\gamma$ как функцию $n$ в виде $\widetilde e_n=\beta(n+\delta)^\epsilon$, определив постоянные. Можно использовать

$$\int_0^1\sqrt{1-t^4}\,dt=\frac{\sqrt\pi\,\Gamma(1/4)}{8\Gamma(7/4)}\approx0.874019.$$

Выпишите $\widetilde e_0,\ldots,\widetilde e_5$ и относительные ошибки $|(\widetilde e_0-e_0)/e_0|$, $|(\widetilde e_2-e_2)/e_2|$, $|(\widetilde e_5-e_5)/e_5|$.