Атом и фотон в представлении взаимодействия

Смоделируем атом двухуровневой системой с основным состоянием $|g\rangle$, возбуждённым $|e\rangle$ и зазором $\hbar\omega_a$. Электромагнитное поле частоты $\omega_p$ представим гармоническим осциллятором. Без взаимодействия

$$H_0=\frac{\hbar\omega_a}{2}(|e\rangle\langle e|-|g\rangle\langle g|)\otimes I+\hbar\omega_p I\otimes(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12)$$

$$=\frac{\hbar\omega_a}{2}\sigma_z\otimes I+\hbar\omega_p I\otimes(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12).$$

Поскольку напряжённость поля пропорциональна $\hat a+\hat a^\dagger$, взаимодействие можно записать как

$$\delta H=\alpha(|g\rangle\langle e|+|e\rangle\langle g|)\otimes(\hat a+\hat a^\dagger),$$

где $\alpha$ — постоянная.

(a) Во вращающемся представлении $\widetilde{\delta H}(t)=e^{iH_0t/\hbar}\delta H e^{-iH_0t/\hbar}$. Вычислите этот оператор.

(b) Положите $\omega_a=\omega_p=\omega$ и вычислите $\int_0^t\widetilde{\delta H}(t')\,dt'$. Какими членами можно пренебречь при $t\gg1/\omega$? [Указание: должны остаться два члена, описывающие поглощение и спонтанное либо вынужденное испускание.]