Переходы при гауссовском импульсе возмущения

Пусть $H_0|n\rangle=E_n|n\rangle$, $n=0,1,2,\ldots$. Приложено возмущение

$$\delta H(t)=\frac{e^{-t^2/(2\tau^2)}}{\sqrt{2\pi\tau^2}}\hat V,$$

где $\hat V$ — произвольный не зависящий от времени эрмитов оператор, а $\tau>0$ измеряется во времени. Изначально, при $t=-\infty$, система находится в $|0\rangle$. По нестационарной теории возмущений первого порядка найдите вероятность состояния $|n\rangle$ при $t=\infty$. Что получается при $\tau\to0$ и $\tau\to\infty$? Выразите ответы через $V_{mn}=\langle m|\hat V|n\rangle$.