Три притягивающих дельта-потенциала

Частица массы $m$ движется в одном измерении под действием потенциала $V(x)$, равного сумме трёх равноотстоящих притягивающих дельта-функций:

$$V(x)=-V_0a\sum_{n=-1}^{1}\delta(x-na),$$

где $V_0>0$ и $a>0$ — постоянные.

(a) Вычислите скачок первой производной волновой функции в точках $x=-a$, $0$ и $a$.

(b) Рассмотрите возможное число и расположение узлов волновых функций связанных состояний этой системы.

(i) Сколько узлов может быть в области $x>a$?

(ii) Сколько узлов может быть в области $0<x<a$?

(iii) Может ли узел находиться в точке $x=a$?

(iv) Может ли узел находиться в точке $x=0$?

(c) Сколько связанных состояний существует при сколь угодно большом $V_0$? Качественно изобразите их.

(d) Выведите уравнение, определяющее энергию низшего по энергии антисимметричного связанного состояния. Найдите минимальное значение $V_0$, при котором это связанное состояние существует.