Рассеяние на безотражательном потенциале

Частица массы $m$ движется в одном измерении в потенциале

$$V(x)=-\frac{\hbar^2a^2}{m}\operatorname{sech}^2(ax).$$

(a) Имеется нормируемое связанное состояние с $\psi_0(x)\propto\operatorname{sech}(ax)$. Какова его энергия?

(b) Покажите, что

$$\psi(x)=\left(\frac ka+i\tanh(ax)\right)e^{ikx}$$

решает ту же задачу при энергии $E=\hbar^2k^2/(2m)$.

(c) Для рассеяния частицы энергии $E$ на $V(x)$ кратко объясните, почему решение (b) удовлетворяет граничным условиям падения слева. Покажите, что коэффициент отражения нулевой, найдите коэффициент прохождения $T(E)$ и докажите $|T(E)|=1$.

(d) Покажите, что $T(E)$ имеет полюс при энергии связанного состояния.