Осциллятор с медленно увеличивающейся массой

Частица движется в одном измерении в гармоническом потенциале, а её масса медленно увеличивается:

$$H(t)=\frac{p^2}{2m(t)}+\frac12m(t)\omega^2x^2,\qquad m(t)=m_0e^{\nu t},\tag{10}$$

где $m_0,\nu$ — постоянные. При $t=0$ частица находится в основном состоянии $H(0)$.

(a) При малом $\nu$ адиабатическая теорема гарантирует, что частица приблизительно остаётся в основном состоянии. Насколько малым должно быть $\nu$?

(b) При выполнении адиабатического приближения найдите динамическую и геометрическую фазы в момент $t$.

(c) Пусть оператор $A$ удовлетворяет

$$[A,p]=\frac{i\hbar\nu p}{2},\qquad[A,x]=-\frac{i\hbar\nu x}{2}.\tag{11}$$

Докажите

$$H(t)=e^{iAt/\hbar}H(0)e^{-iAt/\hbar}.\tag{12}$$

(d) Найдите эрмитов $A$ с коммутаторами (11). [Указание: рассмотрите произведения $x,p$.]

(e) Решение уравнения Шрёдингера имеет вид

$$|\psi(t)\rangle=e^{iAt/\hbar}e^{-i[H(0)+B]t/\hbar}|\psi(0)\rangle.\tag{13}$$

Найдите $B$.

(f) Без слагаемого $B$ выражение (13) превращается в

$$e^{iAt/\hbar}e^{-iH(0)t/\hbar}|\psi(0)\rangle.\tag{14}$$

Покажите, что (14) — состояние, которое получилось бы при точном выполнении адиабатического решения. Затем обоснуйте близость (13) к основному состоянию в момент $t$: в адиабатическом пределе из (a) найдите по стационарной теории возмущений поправку первого порядка к основному состоянию $H(0)+B$. Покажите, что (13) остаётся близким к мгновенному основному состоянию при всех $t$.