Среднее значение импульса

(a) Волновая функция частицы в координатном представлении квадратично интегрируема и вещественна с точностью до произвольного фазового множителя:

$$\psi(x)=e^{i\alpha}\phi(x),$$

где $\alpha$ — вещественная постоянная, а $\phi(x)$ вещественна. Докажите, что среднее значение импульса равно нулю.

(b) Теперь рассмотрите волновую функцию

$$\psi(x)=\phi_1(x)+e^{i\alpha}\phi_2(x),$$

где $\phi_1(x)$ и $\phi_2(x)$ вещественны и квадратично интегрируемы. Чему равно $\langle\hat{p}\rangle$? Ответ можно представить как функцию от $\alpha$, умноженную на интеграл, содержащий функции $\phi_2$ и $d\phi_1/dx$ либо $\phi_1$ и $d\phi_2/dx$. При каких значениях $\alpha$ можно быть уверенными, что $\langle\hat{p}\rangle$ равно нулю, не имея дополнительных сведений о $\phi_1$ и $\phi_2$?

(c) На этот раз рассмотрите волновую функцию

$$\psi(x)=e^{ikx}\phi(x),$$

где $k$ — вещественная постоянная, а $\phi(x)$ вещественна. Вычислите $\langle\hat{p}\rangle$.