Ток вероятности и закон сохранения

Предположим, что $\Psi(x,t)$ удовлетворяет одномерному уравнению Шрёдингера:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t).\tag{2}$$

(a) Выведите закон сохранения вероятности:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial J}{\partial x}=0,\tag{3}$$

где $\rho(x,t)$ — плотность вероятности, а $J(x,t)$ — плотность тока вероятности:

$$\begin{aligned}\rho(x,t)&=\Psi^*\Psi,\\J(x,t)&=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right).\end{aligned}\tag{4}$$

В каких единицах измеряются $\rho$ и $J$?

(b) Объясните, почему уравнение (3) является законом сохранения вероятности. Для этого определите

$$P_{ab}(t)\equiv\int_a^b dx\,\rho(x,t),$$

выразите $dP_{ab}/dt$ через токи и объясните полученный результат. Затем покажите, что волновая функция $\Psi(x,t)$, нормированная в момент $t$, остаётся нормированной и в более поздние моменты.

(c) Далее рассматриваются стационарные состояния с пространственными волновыми функциями $\psi(x)$. Вычислите ток вероятности $J$ для $\psi(x)=e^{i\alpha(x)}\phi(x)$, где $\alpha(x)$ и $\phi(x)$ вещественны. Покажите, что

$$\frac{J(x)}{\rho(x)}=\frac{\hbar}{m}\alpha'(x).$$

Объясните, почему отношение $J/\rho$ можно рассматривать как локальную скорость квантовой частицы, описываемой функцией $\psi(x)$.

(d) Рассмотрите $\psi(x)=Ae^{ipx/\hbar}+Be^{-ipx/\hbar}$, где $A$ и $B$ — комплексные постоянные. Вычислите $J(x)$. Есть ли в $J$ перекрёстные члены между частями $\psi$, движущимися влево и вправо?