Граничное условие в центре

Авторский вопрос и упражнение из лекции 17 о граничном условии в центре сферически симметричного потенциала. Рассматривается обычный трёхмерный гамильтониан

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r),$$

без дополнительного точечного взаимодействия в начале координат. Потенциал регулярный или кулоновский; не подразумеваются более сильные сингулярные потенциалы с иными граничными условиями. После выделения угловой функции $Y_{lm}$ пишут

$$\psi(\mathbf r)=\frac{u_l(r)}rY_{lm}(\theta,\varphi).$$

Что должно происходить с $u_l$ при $r\to0$? Может ли оно стремиться к ненулевой постоянной? Автор предлагает проверить это по настоящей волновой функции, а не по одной вспомогательной функции $u_l$.

Для наиболее тонкого случая $l=0$ исследуйте поведение $\psi\sim C/r$: действительно ли одной нормировки достаточно, чтобы его отвергнуть? Выполните явно предложенное автором упражнение: вычислите лапласиан $1/r$ как распределение, то есть через его действие на гладкую пробную функцию с компактным носителем. Объясните следствие для уравнения Шрёдингера и кинетической энергии. Почему $u_l(0)=0$ не означает, что плотность вероятности в центре обязательно равна нулю?

Уточнение источника: запись в транскрипте $\nabla^2(1/r)=\delta(r)$ передаёт идею точечной особенности, но пропускает знак, коэффициент и трёхмерность дельта-функции. Их нужно установить в вычислении.