Сферическая бесконечная яма при нулевом моменте

Цельный пример сферической ямы из лекции 17. Частица массы $m$ заключена в шар радиуса $L$:

$$V(r)=\begin{cases}0,&0\le r<L,\\+\infty,&r\ge L.\end{cases}$$

Автор рассматривает только специальный случай нулевого орбитального момента $l=0$, а не весь спектр при произвольном $l$. При записи $\psi=u(r)Y_{00}/r$, где $Y_{00}=1/\sqrt{4\pi}$, радиальное уравнение внутри шара имеет вид

$$-\frac{\hbar^2}{2m}u''(r)=Eu(r),\qquad u(0)=u(L)=0.$$

Найдите допустимые энергии и собственные функции. Как граничные условия выбирают синус вместо косинуса и ограничивают волновое число? Какой магнитный номер $m_l$ возможен?

В итоговой волновой функции остаётся множитель $1/r$. Почему это не создаёт недопустимой особенности в центре? Почему ноль вспомогательной функции $u$ в центре не означает нуля самой волновой функции или её объёмной плотности вероятности? Объясните также, почему условие в точке $L$ имеет другое физическое основание, чем условие в нуле.