Кулоновский спектр из степенного ряда

Цельный кулоновский пример из конца лекции 17 и его продолжение в начале лекции 18. Электрон массы $m$ движется в поле неподвижного точечного положительного заряда:

$$V(r)=-\frac gr,\qquad g>0.$$

В гауссовых единицах автора $g=e^2$; в СИ для водорода $g=e^2/(4\pi\epsilon_0)$. Источник положительного заряда считается бесконечно тяжёлым. Спин, релятивистские поправки, конечный размер источника и внешние поля в этой модели не учитываются. Найдите связанные состояния этой идеализированной задачи, следуя всему авторскому построению ниже.

При $\psi=u_l(r)Y_{lm}/r$ радиальное уравнение имеет вид

$$-\frac{\hbar^2}{2m}u_l''+ \left(\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}-\frac gr\right)u_l=Eu_l.$$

Сначала размерностным анализом постройте масштабы $r_0$ и $E_0$, используя авторский выбор $r_0=\hbar^2/(2mg)$ и $E_0=g/r_0$. Что можно сказать о масштабе энергии связи ещё до решения уравнения? Перейдите к $\rho=r/r_0$ и $E=-E_0\epsilon$, $\epsilon>0$.

Исследуйте поведение у нуля и на бесконечности. Выделите регулярную и убывающую ветви в виде

$$u_l(\rho)=\rho^{l+1}e^{-\sqrt\epsilon\,\rho}v(\rho).$$

Получите уравнение для $v$. Затем выполните явно предложенное автором вычисление: подставьте $v=\sum_{j=0}^{\infty}a_j\rho^j$ и выведите связь соседних коэффициентов. Почему для допустимого связанного состояния ряд должен оборваться, а $a_0$ не должен быть нулём?

Из условия обрыва найдите энергии и допустимые значения трёх квантовых чисел $n,l,m_l$. Какова степень оставшегося полинома? Сколько ненулевых членов остаётся при $n=l+1$ и $n=l+2$? Вычислите вырождение при фиксированном $n$, без спина. Почему независимость энергии от $l$ даёт большее вырождение, чем обычные $2l+1$ при фиксированном $l$? Автор оставляет объяснение дополнительной симметрии для следующего блока; здесь требуется установить само вырождение.

Уточнение источника: регулярная ветвь выбирается стандартным граничным условием в центре, в том числе при $l=0$. Неверный знак в записанном в транскрипте условии обрыва следует проверить по выведенной рекурсии, а не переносить в ответ.