Эволюция спина и управление полем

Цельный пример и завершающий вопрос начала лекции 24. В $z$-базисе спина $1/2$ выбрано начальное состояние

$$|\psi(0)\rangle=\frac{|\uparrow_z\rangle+|\downarrow_z\rangle}{\sqrt2}=|\uparrow_x\rangle.$$

Однородное постоянное поле вдоль $z$ даёт спиновый гамильтониан с энергиями $+\hbar\omega$ для $\uparrow_z$ и $-\hbar\omega$ для $\downarrow_z$:

$$H=\hbar\omega\sigma_z,\qquad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

Найдите состояние в момент $t$. Что получится при $\omega t=\pi/2$? Изменились ли модули $z$-амплитуд, и означает ли это отсутствие изменения самого спинового состояния?

Затем ответьте на связанный вопрос автора: можно ли выбором направлений, длительностей и величин магнитных импульсов осуществить произвольное унитарное преобразование чистого спинового состояния? Различайте физическое действие на состояние с точностью до общей фазы и буквальную реализацию любой матрицы $U(2)$ с заданной общей фазой. В спиновой модели магнитный гамильтониан пропорционален $\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma$ и имеет нулевой след.