Вентиль NOT магнитным импульсом

Авторский пример физической реализации вентиля NOT из лекции 24. Кубит кодируется в $|0\rangle=(1,0)^T$ и $|1\rangle=(0,1)^T$. Требуется обменять эти два состояния, сохранив линейное действие на произвольную суперпозицию.

Составьте матрицу NOT. Автор предлагает представить её через экспоненту матрицы Паули $\sigma_x$ и осуществить эту экспоненту спиновым магнитным импульсом вдоль $x$.

Пусть выбран знак поля, при котором спиновый гамильтониан $H=-\hbar\omega\sigma_x$, $\omega>0$. Найдите длительность импульса, его оператор эволюции и действие на $a|0\rangle+b|1\rangle$. Объясните роль общей фазы в авторском равенстве

$$\sigma_x=-i\exp\left(i\frac\pi2\sigma_x\right).$$

Нужно ли, чтобы полученная буквальная матрица импульса в точности равнялась NOT, или для указанного действия на состояние достаточно общей фазы? Речь идёт об одном кубите, а не об условном применении этой фазы к отдельной ветви другого кубита.