Неравенство Белла для трёх направлений

Цельный пример ЭПР и неравенства Белла конца лекции 24. Алиса и Боб получают по одному спину из состояния

$$|\Phi^+\rangle=\frac{|\uparrow_0\uparrow_0\rangle+|\downarrow_0\downarrow_0\rangle}{\sqrt2}.$$

Оригинальная схема разделения частиц приведена ниже, кадр 1:17:55. Используйте общую плоскость $xz$ и базис, явно введённый автором в лекции 23:

$$|\uparrow_\alpha\rangle=\cos\frac\alpha2|\uparrow_0\rangle+\sin\frac\alpha2|\downarrow_0\rangle,$$

$$|\downarrow_\alpha\rangle=\sin\frac\alpha2|\uparrow_0\rangle-\cos\frac\alpha2|\downarrow_0\rangle.$$

Для классической части автор предлагает три свойства, каждое из которых либо есть, либо отсутствует. Если $A,B,C$ — три таких двоичных свойства одной совокупности, докажите

$$\begin{gathered}N(A\wedge\neg B)+N(B\wedge\neg C)\\\ge N(A\wedge\neg C).\end{gathered}$$

Объясните, при каких дополнительных предположениях о локальном определении результатов и выборе настроек это неравенство можно применить к заранее определённым ответам на три направления измерения $0,\theta,2\theta$. В этой модели одинаковые направления у Алисы и Боба должны давать одинаковые результаты, как предсказывает указанное квантовое состояние в выбранной плоскости.

Теперь выполните все три квантовых расчёта автора: совместная вероятность «Алиса вверх, Боб вниз» для пар направлений $(0,\theta)$, $(\theta,2\theta)$ и $(0,2\theta)$. Отделите совместную вероятность от условной вероятности после известного первого результата. Подставьте в неравенство и проверьте его при малом ненулевом $\theta$. Какой именно класс предположений оказывается несовместим с этими квантовыми вероятностями?

Явное уточнение источника: в лекции 24 в одном спиноре появляется относительный $i$, несовместимый с последующим расчётом для $\Phi^+$ при одинаковой ориентации осей. Здесь сохранена исходная вещественная геометрия $xz$ из лекции 23; несогласованность двух записей показана в разборе. Вывод не формулируется как запрет всех возможных скрытых переменных или всякой детерминированной теории.