Туннелирование из ямы в электрическом поле

Эффект Штарка описывает атом в электрическом поле. Рассмотрим возможность туннельного ухода электрона из атома в поле, из-за которого связанные состояния становятся неустойчивыми. Используем более простую одномерную модель.

Электрон находится в прямоугольной яме глубины $V_0$ и ширины $d$:

$$V(x)=\begin{cases}-V_0,&|x|<d/2,\\0,&|x|\ge d/2.\end{cases}$$

Включается слабое постоянное поле $\mathcal E$ вдоль $x$: $V\mapsto V-e\mathcal Ex$. Во всех пунктах считайте $e\mathcal Ed\ll\hbar^2/(2md^2)\ll V_0$.

(a) При $\mathcal E=0$ оцените энергию основного состояния над дном ямы, считая яму бесконечно глубокой. Это хорошее приближение при $\hbar^2/(2md^2)\ll V_0$. Используйте полученную энергию в остальных пунктах. Почему истинная энергия основного состояния ниже этой оценки?

(b) Изобразите потенциал при $\mathcal E\ne0$ и объясните, почему основное состояние ямы без поля больше не устойчиво.

(c) По квазиклассическому приближению найдите коэффициент проникновения через барьер для основного состояния. Упростите расчёт с помощью $e\mathcal Ed\ll\hbar^2/(2md^2)$.

(d) Классическими рассуждениями превратите коэффициент проникновения в оценку времени жизни связанного состояния.

(e) Вычислите время жизни при характерных атомных значениях $V_0=20\,\text{эВ}$, $d=2\times10^{-8}\,\text{см}$ и поле $7\times10^4\,\text{В}/\text{см}$. Сравните его с возрастом Вселенной.

(f) Покажите, что время жизни зависит от поля как $\exp(1/\mathcal E)$. Почему такую неустойчивость невозможно получить в любом конечном порядке теории возмущений по $\mathcal E$?