Туннелирование из высших порядков теории возмущений

Туннелирование экспоненциально подавляется с ростом ширины барьера и квадратного корня из его высоты. Во втором порядке теории возмущений вклад в энергию, напротив, пропорционален $1/(E_n^0-E_m^0)$, что напоминает обратную высоту барьера. Выясним, как экспоненциальное подавление возникает в высших порядках.

Частица находится на линии с нулевым потенциалом на концах и барьером высоты $V_0$ и ширины $W$ между ними. Квазиклассическая амплитуда туннелирования равна $\exp[-W\sqrt{2mV_0}/\hbar]$.

(a) Сначала ограничим положение узлами $0,1,\ldots,N$. Барьер задаётся гамильтонианом

$$H_0=V_0\sum_{x=1}^{N-1}|x\rangle\langle x|,\tag{2}$$

а переходы между соседними узлами — возмущением

$$\delta H=-\lambda\sum_{x=1}^N(|x-1\rangle\langle x|+|x\rangle\langle x-1|).\tag{3}$$

Пусть $\lambda\ll V_0$.

Рисунок 1: частица занимает один из $N+1$ узлов; показан случай $N=5$ с барьером (2) и переходами (3).

Без переходов основное подпространство двумерно и натянуто на

$$|g_+\rangle=\frac{|0\rangle+|N\rangle}{\sqrt2},\qquad |g_-\rangle=\frac{|0\rangle-|N\rangle}{\sqrt2}.$$

Можно было выбрать $|0\rangle,|N\rangle$, но $|g_\pm\rangle$ удобнее. Переходы создают малое расщепление собственных энергий двух ветвей, стремящихся к $|g_\pm\rangle$ при исчезновении возмущения. Обозначим их $E_{g_\pm}$. В исходнике они ошибочно приравнены к ожиданию полного гамильтониана в неизменённых $|g_\pm\rangle$; это равенство не даёт искомого расщепления и здесь исправлено.

Поправка порядка $k$ имеет вид

$$\begin{gathered}E_n^k=\sum_{m_1,\ldots,m_{k-1}}\frac{\prod_{j=1}^k\delta H_{m_j,m_{j-1}}}{\prod_{j=1}^{k-1}(E_n^0-E_{m_j}^0)}\\+\text{остальные члены},\;m_0=m_k=n.\end{gathered}\tag{4}$$

Индексы $m_1,\ldots,m_{k-1}$ пробегают состояния вне основного вырожденного подпространства. В базисе $\{|g_+\rangle,|g_-\rangle,|1\rangle,\ldots,|N-1\rangle\}$ возмущение не связывает друг с другом два состояния основного подпространства. Утверждение исходника не распространяется на вырожденные состояния внутри барьера: они связаны (3).

При каком наименьшем $k$ разность $E_{g_-}^k-E_{g_+}^k$ ненулевая? Остальные члены (4) начинают влиять на расщепление лишь в более высоком порядке, поэтому здесь их можно опустить. Найдите расщепление в этом порядке. Оно должно экспоненциально убывать с $N$, аналогом ширины $W$, но зависимость от $V_0$ пока будет отличаться от квазиклассической.

(b) Теперь дискретизуем одномерный гамильтониан непрерывного пространства. При шаге $\ell$ оператор $d^2/dx^2$ заменяется

$$D_\ell^2=\frac1{\ell^2}\sum_x(-2|x\rangle\langle x|+|x\rangle\langle x+1|+|x\rangle\langle x-1|).$$

Если отбросить диагональную часть, кинетическая энергия $p^2/(2m)$ эквивалентна (3). Чему равно $\lambda$? Для прямоугольного барьера ширины $W$ положите $\ell=W/N$. По схеме узлов $0,\ldots,N$ это $N$ интервалов сетки и $N+1$ узлов; исходник называет это $N$ узлами.

При уменьшении $\ell$ расщепление (a) уменьшается, поскольку $N=W/\ell$ растёт. Это свойство приближения: физическая система не должна зависеть от $\ell$. Но произвольно малый шаг несовместим с использованной теорией возмущений. Как должен зависеть $\ell$ от $V_0$ и других параметров, чтобы $\lambda\ll V_0$? Конкретно зафиксируйте $\lambda/V_0=\epsilon\ll1$, меняя $\ell$, и оцените расщепление через $\epsilon,W,V_0,m,\hbar$.

(c) Перейдём к самому туннелированию. Пусть

$$H=E_+|g_+\rangle\langle g_+|+E_-|g_-\rangle\langle g_-|,\qquad\Delta=E_--E_+.$$

При $t=0$ частица находится в $|0\rangle$. В момент $t$ измеряется, занимает ли она $|0\rangle$ или $|N\rangle$. Когда вероятность найти её в $N$ равна 1? По расщеплению из (b) определите зависимость частоты туннелирования от $W,V_0$ и сравните с квазиклассическим результатом.