Калибровочная инвариантность уравнения Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера частицы в электромагнитном поле имеет вид

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac1{2m}\left(-i\hbar\vec\nabla-\frac qc\vec A(\vec x,t)\right)^2\psi(\vec x,t)+q\phi(\vec x,t)\psi(\vec x,t).\tag{9}$$

(a) Рассмотрите калибровочное преобразование

$$\vec A'(\vec x,t)=\vec A(\vec x,t)-\vec\nabla f(\vec x,t),\qquad\phi'(\vec x,t)=\phi(\vec x,t)+\frac1c\frac{\partial f}{\partial t}(\vec x,t).\tag{10}$$

Новые и прежние потенциалы описывают одинаковые электрическое и магнитное поля. Докажите: если $\psi$ решает уравнение с прежними потенциалами, то

$$\psi'(\vec x,t)=e^{-iqf(\vec x,t)/(\hbar c)}\psi(\vec x,t)\tag{11}$$

решает уравнение с новыми.

(b) Проверьте калибровочную инвариантность, то есть неизменность при этом преобразовании, следующих величин:

i. $\langle\psi|\hat x_i|\psi\rangle$;

ii. $\langle\psi|\hat p_i|\psi\rangle$;

iii. $\langle\psi|\hat v_i|\psi\rangle$, где $\hat v_i=(\hat p_i-qA_i/c)/m$;

iv. Средняя энергия при не зависящем от времени $f$;

v. Собственные значения энергии при не зависящем от времени $f$.

Калибровочно инвариантный оператор имеет неизменные средние значения во всех состояниях.