Релятивистская и нерелятивистская длина волны электрона

(a) Для нерелятивистского электрона с кинетической энергией $E_{\rm kin}$ длину волны де Бройля можно записать как

$$\lambda_{\rm nr}=\frac\delta{\sqrt{E_{\rm kin}}}\,\mathrm{\mathring A}.$$

Здесь $\delta$ — безразмерная постоянная; энергию подставляют числом в электронвольтах. Ответ получается в ангстремах: $1\,\mathrm{\mathring A}=10^{-10}\,\mathrm м$. Найдите $\delta$.

(b) Для релятивистского электрона с энергией $E=\gamma m_ec^2$ длина волны равна

$$\lambda_{\rm r}=\frac\ell{\sqrt{\gamma^2-1}}.$$

Найдите $\ell$ в фемтометрах, $1\,\mathrm{фм}=10^{-15}\,\mathrm м$. Что это за известная длина?

(c) Выразите $\lambda_{\rm nr}$ через $\ell$ и $\gamma$, используя $E_{\rm kin}=(\gamma-1)m_ec^2$. Докажите, что $\lambda_{\rm r}<\lambda_{\rm nr}$ при любой ненулевой кинетической энергии.

(d) Численные расчёты:

(i) Чему равна энергия электрона, если его длина волны де Бройля совпадает с комптоновской? Релятивистский ли он: движется ли быстрее $0.2c$?

(ii) Длина волны де Бройля оценивает масштаб расстояний, доступный частице в столкновении. В источнике предполагается, что планируемый Международный линейный коллайдер сможет разгонять электроны до $1\,\mathrm{ТэВ}=1000\,\mathrm{ГэВ}$. Найдите их длину волны и сравните с длиной волны протонов с энергией $7\,\mathrm{ТэВ}$ на Большом адронном коллайдере в Женеве.

(iii) При какой наибольшей кинетической энергии электрона ошибка нерелятивистской формулы не превышает 10%? Найдите также соответствующее значение $\beta=v/c$.